निर्देशांक ज्यामिति कक्षा 9 (The Coordinate Geometry Class 9th) Theory+Solutions PDF file

CLASS 9TH MATHS COORDINATE GEOMETRY (निर्देशांक ज्यामिति) SOLUTIONS PDF 👇

निर्देशांक ज्यामिति कक्षा 9 (The Coordinate Geometry Class 9th)

*कार्तीय पद्धति:-

रेने दकार्ते (Rene Descartes) ने एक समतल में एक बिंदु की स्थिति का वर्णन करने के लिए इस्तेमाल की जाने वाली प्रणाली की खोज की। रेने दकार्ते के सम्मान में, इस प्रणाली को कार्तीय प्रणाली के रूप में जाना जाता है।

हम जानते हैं कि संख्या रेखा में धनात्मक और ऋणात्मक संख्याएँ होती हैं और बीच में 0 होता है। संख्या रेखा पर, दो संख्याओं के बीच का अंतर 1 इकाई के बराबर होता है। हम बिंदु O से किसी भी दिशा (सकारात्मक या नकारात्मक) में दूरी लेते हैं। इस बिंदु को मूल बिंदु कहा जाता है।

दकार्ते ने एक बिंदु का पता लगाने के लिए दो संख्या रेखाओं को एक दूसरे के लंबवत रखकर प्रणाली की खोज की। इन दो लंबवत संख्या रेखाओं में, एक रेखा क्षैतिज होती है और दूसरी लंबवत होती है। इसे स्पष्ट रूप से समझने के लिए यहाँ आकृति दी गई है।

SCROLL DOWN FOR CLASS 9TH MATHS COORDINATE GEOMETRY (निर्देशांक ज्यामिति) SOLUTIONS PDF 👇

आकृति (a) में, ऊर्ध्वाधर संख्या रेखा YY` खींची गई है जिसे ऊर्ध्वाधर अक्ष कहा जाता है और आकृति (b) में क्षैतिज संख्या रेखा XX` खींची गई है जिसे क्षैतिज अक्ष कहा जाता है। यदि हम दोनों संख्या रेखाओं को उनके मूल बिंदु पर लंबवत रूप से जोड़ते हैं तो क्षैतिज संख्या रेखा XX` को x-अक्ष और ऊर्ध्वाधर संख्या रेखा YY` को y-अक्ष कहा जाता है। वह बिंदु जहां दोनों रेखाएं एक-दूसरे को काटती हैं, मूल बिंदु कहलाता है और इसे O से निरूपित किया जाता है।

यहाँ, मूल बिंदु से चार दिशाएँ हैं, दो दिशाएँ OX और OY क्रमशः x-अक्ष और y-अक्ष की धनात्मक दिशाएँ हैं, और अन्य दो दिशाएँ OX` तथा OY` क्रमशः x-अक्ष और y-अक्ष की ऋणात्मक दिशाएँ हैं।

उपरोक्त आकृति में, हम देख सकते हैं कि दोनों अक्ष समतल को चार बराबर भागों में विभाजित करते हैं। इन चारों भागों को चतुर्थांश कहते हैं। चतुर्थांश का अर्थ है एक चौथाई भाग। चतुर्थांशों की संख्या वामावर्त दिशा में OX (धनात्मक x-अक्ष) से प्रारंभ होती है। चतुर्थांश I, II, III और IV के रूप में गिने जाते हैं। यहाँ आकृति दी गई है।

वह तल जिसमें x-अक्ष और y-अक्ष चार चतुर्थांशों के साथ उपस्थित होते हैं, कार्तीय तल या XY तल या निर्देशांक तल कहलाता है। x-अक्ष और y-अक्ष को निर्देशांक अक्ष कहा जाता है।

इन चतुर्थांशों में किसी बिंदु की स्थिति कैसे ज्ञात करें, और वह बिंदु किस चतुर्थांश में है? हम किसी भी बिंदु की सटीक स्थिति कैसे प्राप्त कर सकते हैं और स्थान क्या होगा? इस तरह के सवाल हमारे मन में उठते हैं। आइए देखें कि इन्हें कैसे हल किया जाए?

मान लीजिए कि एक बिंदु P है जो चतुर्थांश I में स्थित है और हमें बिंदु P की स्थिति ज्ञात करनी है।

सबसे पहले, हम बिंदु P से x-अक्ष और y-अक्ष पर लंब खींचते हैं जैसा कि ऊपर दिए गए चित्र में दिखाया गया है। x-अक्ष पर खींचा गया लम्ब PQ है और y-अक्ष पर खींचा गया लम्ब PR है।

यहाँ, PQ ∥ OR और PR ∥ OQ

अतः, PQ = OR = 5 इकाई और PR = OQ = 4 इकाई

y-अक्ष से लंबवत दूरी PR है जो OQ के बराबर है, जो धनात्मक x-अक्ष पर मान देता है (x = +4)। x का मान x — निर्देशांक है (दोनों दिशाओं में)।

x-अक्ष से लंबवत दूरी PQ है जो OR के बराबर है जो धनात्मक y-अक्ष पर मान देता है (y = +5)। y का मान y — निर्देशांक है (दोनों दिशाओं में)।

भुज — 

y-अक्ष से किसी बिंदु की लंबवत दूरी जो x-निर्देशांक का मान देती है, भुज कहलाती है। बिंदु P के लिए, भुज +4 (x = +4) है।

कोटि — 

x-अक्ष से किसी बिंदु की लंबवत दूरी जो y-निर्देशांक का मान देती है, कोटि कहलाती है। बिंदु P के लिए, कोटि +5 (y = +5) है।

हम देख सकते हैं कि बिंदु P के दो मान दो दिशाओं में हैं (धनात्मक x-अक्ष और धनात्मक y-अक्ष)। इन दो मानों को एक बिंदु के निर्देशांक कहा जाता है। इन दो मानों में, एक मान x का होता है (चाहे धनात्मक हो या ऋणात्मक हो, दिशा पर निर्भर करता है) और दूसरा मान y का होता है (चाहे धनात्मक हो या ऋणात्मक हो, दिशा पर निर्भर करता है)।

यहाँ, बिंदु P के लिए, x = 4 और y = 5

निर्देशांक के रूप में लिखने के लिए पहले हम x-निर्देशांक का मान लिखते हैं और फिर हम y-निर्देशांक का मान कोष्ठक में लिखते हैं, जो अल्पविराम द्वारा अलग होते है।

अत: बिंदु P के निर्देशांक (4, 5)

Note — 1) प्रत्येक बिंदु के अपने अद्वितीय निर्देशांक होते हैं इसलिए दो अलग-अलग बिंदुओं के समान निर्देशांक होना संभव नहीं है। हमें यह समझना होगा कि निर्देशांक (1, 2) और (2, 1) बराबर नहीं हैं और (-3, -4) ≠ (3, 4)।

2) यदि बिंदु x-अक्ष पर स्थित है तो y-निर्देशांक शून्य होगा। x-अक्ष पर स्थित किसी बिंदु के निर्देशांक (x, 0) के रूप में होते हैं। और यदि बिंदु y-अक्ष पर स्थित है तो x-निर्देशांक शून्य होगा। y-अक्ष पर स्थित किसी बिंदु के निर्देशांक (0, y) के रूप में होते हैं।

3) मूल बिंदु के निर्देशांक (0, 0) होते हैं क्योंकि दोनों अक्षों से मूल बिंदु की लंबवत दूरी हमेशा शून्य होती है।

*चतुर्थांशों में निर्देशांकों के चिन्ह:-

पहले चतुर्थांश में स्थित होगा।

चतुर्थांश II में, एक बिंदु के x-निर्देशांक का मान ऋणात्मक होता है और y-निर्देशांक का मान धनात्मक होता है क्योंकि यह ऋणात्मक x-अक्ष (OX`) और धनात्मक y-अक्ष (OY) से घिरा होता है। यदि किसी बिंदु का x-निर्देशांक ऋणात्मक और y-निर्देशांक धनात्मक है तो वह बिंदु दूसरे चतुर्थांश में स्थित होगा।

     Click here to download Class 9th maths co-ordinate geometry solution PDF 👇

चतुर्थांश III में, एक बिंदु के x और y निर्देशांक के मान ऋणात्मक होते हैं क्योंकि यह ऋणात्मक x-अक्ष (OX`) और ऋणात्मक y-अक्ष (OY`) से घिरा होता है। यदि किसी बिंदु के दोनों निर्देशांक ऋणात्मक हों तो वह बिंदु तीसरे चतुर्थांश में स्थित होगा।

चतुर्थांश IV में, एक बिंदु के x-निर्देशांक का मान धनात्मक होता है और y-निर्देशांक का मान ऋणात्मक होता है क्योंकि यह धनात्मक x-अक्ष (OX) और ऋणात्मक y-अक्ष (OY’) से घिरा होता है। यदि किसी बिंदु का x-निर्देशांक धनात्मक और y-निर्देशांक ऋणात्मक है तो वह बिंदु चौथे चतुर्थांश में स्थित होगा।